บทที่ 1

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว(อสมการ)

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

อสมการ  คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมี
สัญลักษณ์ “<, >, £,³, ¹  บอกความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน  คำตอบของอสมการคือ จำนวนที่แทนตัวแปรแล้วในอสมการทำให้อสมการเป็นจริงหรือสอดคล้องกับอสมการ

         
 สมบัติของอสมการ        ให้ และ d เป็นจำนวนจริง

1.ถ้า a< b และ b< c แล้ว  a<c
2.ถ้า a<b แล้ว  a ± c < b ± c
3.ถ้า a< b cและ c > 0 แล้ว ac < bc
ถ้าa< b และc<0 แล้วac>bc
ถ้าa<bและc=0แล้วac=bc
4.ถ้าa< bและc<dแล้วa+c< b+d
5.ถ้าa<bและc<dแล้วa-d<b-c
6.ถ้า0<a<bและ0<c<dแล้วac<bd
7.ถ้า0<a<bและ0<c<dแล้ว  <
8.ถ้า0<a<bแล้ว   >

หลักการแก้อสมการ

1.คำตอบที่ได้จะอยู่ในช่วงมากกว่าหรือน้อยกว่า

2.ถ้าคูณหรือหารด้วยค่าลบ(จำนวนจริงลบ)เครื่องหมายของอสมการต้องเปลี่ยนเป็นตรงข้าม

3.การแก้อสมการกำลังสูงสุดแค่หนึ่งให้ใช้หลักการแก้เหมือนการแก้สมการ

คือย้ายข้างได้สำหรับการบวกและลบนิยมย้ายตัวแปรไว้ด้านหนึ่ง

4.การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าหนึ่ง

4.1.ทำทางขวามือของอสมการให้มีค่าเป็นศูนย์

4.2.แยกตัวประกอบของอสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชัน

4.3.พิจารณาดูว่าค่าใดบ้างที่ทำให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์

4.4.นำค่าที่ได้ใส่ลงในเส้นจำนวน โดยเรียงจากน้อยไปมาก

   น้อย       +        –      +        –       +          มาก

กำหนดให้ช่วงทางขวามือสุดเป็นค่าบวก  และถัดมาเป็นค่าลบ   บวก   ลบ  ……      สลับไปเรื่อย ๆ ตามจำนวนของช่วงที่มีอยู่

4.5. พิจารณาหาคำตอบ โดยใช้หลัก

1.ถ้าอสมการเครื่องหมาย³เลือกช่วงที่มีค่าบวก(+) ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย”หรือ” 2.ถ้าอสมการเครื่องหมาย < , £ เลือกช่วงที่มีค่าลบ(-)  ถ้ามีหลายค่าเชื่อมด้วย “หรือ”

คำตอบของอสมการ

 ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ > , < , ≤ , ≥ , ≠ เป็นสิ่งแสดงความสัมพันธ์     เช่น :-
1.2.1    5 + 6 > 9
1.2.2    7 + 3 < 15
1.2.3    6 + 4   ≠ 8
1.2.4    a – 5  ≤  7
1.2.5    b ≥  9
ฯลฯ

ความหมายของคำตอบของอสมการ     จากตัวอย่างของอสมการในข้อ. เราจะพิจารณาลักษณะของอสมการโดยแยกออกเป็น 2 ประเภทดังนี้:-
 1  อสมการที่สามารถบอกได้ทันทีว่า เป็นจริง  หรือเป็นเท็จ  เช่น
1. 5 + 4 > 8     หรือ
2. 8 + 3 ≠ 12  หรือ
3. 9- 4  < 6     เป็นต้น
2  อสมการที่ไม่สามารถบอกได้ทันทีว่า เป็นจริง  หรือเป็นเท็จ  เช่น
1. b ≤ 8   หรือ
              2. a – 7 ≥  9  หรือ3. y + 3 ≠  6  เป็นต้น
3 ตัวอย่างการทดลองนำจำนวนไปแทนตัวแปรในอสมการ:-
@ จากโจทย์  b + 5 >  12  ให้เราลองนำ  7 ,8 ,9 และ 10  ไปแทนค่า
ตัวแปรในอสมการ (ตัวแปรที่นี่คือ b) จะได้ผลสรุปดังนี้
1. เมื่อนำ 7  ไปแทนตัวแปรในอสมการ จะได้อสมการใหม่คือ
7 + 5 > 12   หรือ  12 > 12  ซึ่งเป็นเท็จ
2. หากเรานำ 8 ไปแทนตัวแปรในอสมการ จะได้อสมการใหม่คือ
8 + 5  > 12  หรือ 13 >  12  ซึ่งเป็นจริง
3. หากเรานำ 9 ไปแทนตัวแปรในอสมการ จะได้อสมการใหม่คือ
9 + 5  > 12  หรือ 14 >  12  ซึ่งเป็นจริง
4. หากเรานำ 10 ไปแทนตัวแปรในอสมการ จะได้อสมการใหม่คือ
10 + 5  > 15  หรือ 15 >  12  ซึ่งเป็นจริง

         @@ สรุปได้ว่า จำนวนทุกจำนวนที่มากกว่า 7 เป็นคำตอบของอสมการ
เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้คือ  b>7

@@คำตอบของอสมการที่มีตัวแปรคือ จำนวนที่แทนค่าตัวแปรใน อสมการแล้ว  ทำให้อสมการนั้นเป็นจริง

ตัวอย่าง 1   จงหาคำตอบของอสมการที่มีตัวแปร  3k + 5   >  9
วิธีทำ      3k + 5  >  9
3k       >  9 – 5      (เอา 5  ลบออกทั้ง 2 ข้าง)
3k       >  4           ( 9 – 5 =  4)
K > 

นั่นคือ คำตอบของอสมการ  K คือจำนวนทุกจำนวนที่มากกว่า
ตอบ  k >   

ตัวอย่าง2  จงหาคำตอบของอสมการ   5b – 8   <  7
วิธีทำ         5b-8  <  7
5b-8+8 <   7+8          (เอา 8 บวกเข้าทั้ง 2 ข้าง)
5b <  15
b<

                         b    <  3
นั่นคือ คำตอบของอสมการ  b คือจำนวนทุกจำนวนที่น้อยกว่า 3
ตอบ  b  <  3

กราฟแสดงคำตอบของอสมการ

  –  เนื่องจากคำตอบของอสมการ  ที่เราหาได้จะเป็นจำนวนจริงเสมอ  ดังนั้นเราสามารถที่จะนำคำตอบที่หาได้แสดง
บนเส้นจำนวนได้  การแสดงคำตอบในลักษณะนี้เราเรียกว่า “กราฟแสดงคำตอบ”
– การใช้กราฟแสดงคำตอบของอสมการ ทำให้เป็นภาพคำตอบได้ชัดเจน  ในกรณีที่มีคำตอบมากกว่า1 คำตอบ
  @@ การเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการและอ่านคำตอบ

  คำตอบของอสมการจากกราฟ
    

ตัวอย่างที่ 1  ที่ให้พิจารณา  a + 1 ≤  4
วิธีทำ       a + 1 ≤ 4
a + 1 – 1 ≤ 4 – 1
 a ≤ 3
นั่นคือ  a  มีค่า น้อยกว่าและเท่ากับ 3  เขียนกราฟแสดงคำตอบของ
a + 1 ≤ 4  ได้ดังนี้:-

ตัวอย่างที่ 2  จงเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการต่อไปนี้ a + 4 > 10
วิธีทำ    a + 4 > 10
a + 4 – 4 > 10 – 4   (เอา 4 บวกเข้าทั้งสองข้าง)
a > 6
นั่นคือ  a  มากกว่า 6  ขึ้นไป จะเป็น  7,8,9,10,11,…
เขียนกราฟแสดงคำตอบของ  a + 4 > 10  ได้ดังนี้:-

          

–  การเขียนวงกลมโปร่ง(  ) ที่ตำแหน่งเลข 6  เพื่อแสดงว่า กราฟแสดง
คำตอบนี้ไม่รวม 6 แต่แสดงจำนวนที่มากกว่า 6  เช่น 6.01,6.10, 6.35 ,…
เป็นคำตอบทุกจำนวน
ที่มา http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=78495